Çarpanlar ve Katlar — LGS örnek sorular ve çözümleri

Dokuz ile on aralarında asaldır; ikisi de asal sayı olmadığı hâlde ortak bölenleri yalnızca birdir.

Çarpanlar ve Katlar konusu bu tür ilişkiler üzerine kuruludur: bir sayının pozitif bölenleri, asal çarpanlara ayırma, en büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat. Hangisinin kullanılacağını çoğu zaman problemin dili gösterir. Bir topluluğu eşit ve olabildiğince büyük gruplara ayırmak ortak bölene, farklı aralıklarla tekrarlanan olayların ilk kez aynı anda gerçekleşmesi ise ortak kata götürür.

LGS matematik sorularında bu kavramlar çoğunlukla gündelik bir durumun içine yerleştirilir. Uzun bir metinden ilgili bilgileri ayıklamak, soruyu çözmenin ilk adımıdır.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruOrta

Bir kuyumcu, kütleleri gram cinsinden pozitif tam sayılar olan iki bilezik tartmıştır. Altın bileziğin kütlesi $K$ gram, gümüş bileziğin kütlesi $L$ gram olup $5 K = 6 L$ eşitliği sağlanmaktadır. İki bileziğin toplam kütlesi üç basamaklı bir sayıdır; bu sayının yüzler basamağı 2 ve rakamları toplamı 4’tür.

Buna göre altın bileziğin kütlesi $K$ kaç gramdır?

100✗ Bu değil110✗ Bu değil120✓ Doğru220✗ Bu değil

Cevabı göster

Cevap: C — 120

Kısaca — $5 A = 6 B$ eşitliğinden toplam kütle 11’in katı olan 220 g bulunur; buradan altın bilezik $A = 6 \cdot 20 = 120 g$ olarak hesaplanır.

$5 A = 6 B$ eşitliğine göre $A = 6 k$ ve $B = 5 k$ yazılabilir; bu durumda iki bileziğin toplam kütlesi $A + B = 11 k$ yani 11’in bir tam katı olmalıdır. Yüzler basamağı 2 olan ve rakamları toplamı 4 olan üç basamaklı sayılar 202, 211 ve 220’dir. Bu sayılardan yalnızca 220 sayısı 11’e tam bölünür ( $220 \div 11 = 20$ ), bu da $k = 20$ demektir. Bizden altın bileziğin kütlesi istendiği için $A = 6 k = 6 \cdot 20 = 120 g$ bulunur. Çeldiricilerden 220 iki bileziğin toplam kütlesi, 100 ise $5 k$ olan gümüş bileziğin kütlesidir.

2. soruOrta

Bir matbaada iki farklı etiket rulosu hazırlanıyor. Birinci ruloda $K$ , ikinci ruloda $L$ adet etiket bulunmaktadır. $K$ ile $L$ pozitif tam sayıları aralarında asaldır ve bu iki sayının en küçük ortak katı 600’dür. Tasarımcı, toplam etiket sayısını olabildiğince küçük tutmak istemektedir.

Buna göre $K + L$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

49✓ Doğru50✗ Bu değil83✗ Bu değil601✗ Bu değil

Cevabı göster

Cevap: A — 49

Kısaca — Çarpımı 600 olan aralarında asal sayıların toplamının en küçük olması için çarpanlar birbirine en yakın seçilmelidir; 24 ve 25 sayıları için bu toplam 49’dur.

$A$ ve $B$ sayıları aralarında asal olduğundan çarpımları doğrudan en küçük ortak katlarına eşittir: $A \cdot B = 600$ . $600 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{2}$ asal çarpanlarına ayrıldığında, aralarında asal olma şartı gereği aynı asal çarpanlar aynı sayıda bulunmalıdır. Bu koşulu sağlayan çarpan çiftleri $(1, 600)$ , $(3, 200)$ , $(8, 75)$ ve $(24, 25)$ ’tir. Çarpımları sabit olan iki sayının toplamının en küçük olması için sayılar birbirine mümkün olduğunca yakın olmalıdır; bu da 24 ve 25 sayıları ile sağlanır ve toplamları $24 + 25 = 49$ olur. Çeldiricilerden 50, aralarında asal olmayan 20 ile 30’un toplamıdır ( $20 \cdot 30 = 600$ ); 601 en büyük toplam, 83 ise $(8, 75)$ çiftinin toplamıdır.

3. soruZor

Bir spor okulunda 108 kız ve 252 erkek öğrenci vardır. Öğrenciler; her takımda yalnızca kız veya yalnızca erkek olacak, takımlardaki öğrenci sayıları birbirine eşit olacak ve takım mevcudu olabildiğince büyük seçilecek biçimde gruplara ayrılacaktır. Daha sonra yapılan yoklamada 20 kız ile 40 erkeğin takımlarına gelmediği görülmüştür. Buna göre, içinde eksik öğrenci bulunmayan takımların sayısı en fazla kaç olabilir?

6✗ Bu değil7✓ Doğru8✗ Bu değil9✗ Bu değil

Cevabı göster

Cevap: B — 7

Kısaca — İçinde eksik öğrenci bulunmayan takımların sayısı en fazla 7'dir.

Takım mevcudunun olabildiğince büyük olması için 108 ve 252 sayılarının en büyük ortak böleni alınır: $EBOB (108, 252) = 36$ öğrencidir. Buna göre kızlardan $108 \div 36 = 3$ takım, erkeklerden $252 \div 36 = 7$ takım olmak üzere toplam $3 + 7 = 10$ takım kurulur. Eksik öğrencilerin en az sayıda takıma toplanması istendiğinden 20 eksik kız öğrenci en az 1 takımı, 40 eksik erkek öğrenci ise en az 2 takımı ( $36 + 4$ kişilik eksilme ile) etkiler. Dolayısıyla eksiklerden etkilenen takım sayısı en az $1 + 2 = 3$ olur ve eksiksiz kalan tam takım sayısı en fazla $10 - 3 = 7$ bulunur.

Çarpanlar ve Katlar — LGS örnek sorular ve çözümleri

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer LGS konuları

Matematik